Numbers k such that the last letter of k is the same as the first letter of k+1

Numbers k such that the last letter of k is the same as the first letter of k+1 is a draft programming task. It is not yet considered ready to be promoted as a complete task, for reasons that should be found in its talk page.

Definition

For the purposes of this task, a qualifying number is a non-negative integer, k, whose last letter is the same as the first letter of k+1 when written in English.

For example, 18 (i.e 'eighteen' in English) is a qualifying number because its last letter 'n' is the same as the first letter of 'nineteen'.

Take the English equivalent of 0 to be 'zero' and not 'nought' or similar words.

For numbers such as 100 or 1000, the equivalent English should be taken as 'one hundred' or 'one thousand' and not 'a hundred' or 'a thousand'.

Task

1. Find and show here the first 50 qualifying numbers.

2. What are the 1,000th and 10,000th qualifying numbers?

3. For the first 1,000 and 10,000 qualifying numbers, show their breakdown by final digit. This can be shown numerically, graphically or both.

If it is difficult for your language to meet all of these requirements, then just do what you reasonably can.

Stretch

4. What are the 100,000th and millionth qualifying numbers?

5. For the first 100,000 and million qualifying numbers, show their breakdown by final digit.

References

• OEIS sequence A363659:Numbers k such that the last letter of k is the same as the first letter of k+1 when written in English.

• GCHQ, The GCHQ Puzzle Book, Penguin, 2016. See Puzzle 31, page 37 (referred to in OEIS link).

• Number names

J

Using Number names, we can generate a sample of the desired numbers which (in this example) are smaller than a million:

   #sample=: I.({:=1|.!.' '{.)|:({.,{:)@us"0 i.1e6
91401
   5 10$sample                    NB. first fifty
  0  18  28  38  79  81  83  85  97 102
122 132 142 152 162 172 182 192 208 228
238 248 258 268 278 288 298 308 328 338
348 358 368 378 388 398 799 801 803 805
809 812 821 823 825 829 831 833 835 839
   (],. sample {~ <:) 1e3 1e4     NB. 1000th and 10000th
 1000  10988
10000 106652
   (~.,.#/.~) /:~10|1e3{.sample   NB. counts by final digit (first 1e3 k)
0  12
1 111
2 110
3 111
4  11
5 111
6  11
7 111
8 301
9 111
   (~.,.#/.~) /:~10|1e4{.sample   NB. counts by final digit (first 1e4 k)
0  122
1 1301
2  829
3 1301
4  121
5 1301
6  121
7 1211
8 2392
9 1301

Wren

Library: Wren-fmt

Library: Wren-math

Simple brute force approach.

import "./fmt" for Name, Fmt
import "./math" for Nums

var i = 0
var c = 0
var nums = []
var lastDigs = List.filled(10, 0)
var labels = (0..9).map { |d| d.toString }.toList
var prev = Name.fromNum(0) // "zero"
var limit = 1000
while (limit <= 1e6) {
    var next = Name.fromNum(i+1)
    if (prev[-1] == next[0]) {
        if (c < 50) nums.add(i)
        var ld = i % 10
        lastDigs[ld] = lastDigs[ld] + 1
        c = c + 1
        if (c == 50) {
            System.print("First 50 numbers:")
            Fmt.tprint("$3d ", nums, 10)
            System.print()
        } else if (c == limit) {
            Fmt.print("The $,r number is $,d.\n", c, i)
            var title = Fmt.swrite("Breakdown by last digit of first $,d numbers", c)
            Nums.barChart(title, 80, labels, lastDigs)
            System.print()
            limit = limit * 10
        }
    }
    prev = next
    i = i + 1
}

Output:

First 50 numbers:
  0   18   28   38   79   81   83   85   97  102 
122  132  142  152  162  172  182  192  208  228 
238  248  258  268  278  288  298  308  328  338 
348  358  368  378  388  398  799  801  803  805 
809  812  821  823  825  829  831  833  835  839 

The 1,000th number is 10,988.

Breakdown by last digit of first 1,000 numbers
--------------------------------------------------------------------------------
0 ■■ 12
1 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111
2 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 110
3 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111
4 ■■ 11
5 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111
6 ■■ 11
7 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111
8 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 301
9 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111
--------------------------------------------------------------------------------

The 10,000th number is 106,652.

Breakdown by last digit of first 10,000 numbers
--------------------------------------------------------------------------------
0 ■■■ 122
1 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1301
2 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 829
3 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1301
4 ■■■ 121
5 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1301
6 ■■■ 121
7 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1211
8 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 2392
9 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1301
--------------------------------------------------------------------------------

The 100,000th number is 1,095,542.

Breakdown by last digit of first 100,000 numbers
--------------------------------------------------------------------------------
0 ■■■ 1122
1 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 11301
2 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 18829
3 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 11301
4 ■■■ 1121
5 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 11301
6 ■■■ 1121
7 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 11211
8 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 21392
9 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 11301
--------------------------------------------------------------------------------

The 1,000,000th number is 10,984,428.

Breakdown by last digit of first 1,000,000 numbers
--------------------------------------------------------------------------------
0 ■■ 11123
1 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111301
2 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 110230
3 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111301
4 ■■ 11121
5 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111301
6 ■■ 11121
7 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111211
8 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 299990
9 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 111301
--------------------------------------------------------------------------------